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Enteros × Flotantes

Un truco que hace uso y abuso de los números subnormales.

Allá por el año 2020, un compañero docente me mostró una curiosidad que encontró en uno de sus grupos de trabajo práctico: hacer operaciones de punto flotante con números enteros daba resultados correctos para ciertos números.

No, no hablo de multiplicar enteros por 0 😒.

El siguiente ejemplo en ASM debería dejarlo más claro:

section .text
global _start
_start:
  mov eax, 42
  movd xmm0, eax     ; xmm0 tiene el entero 42.

  mov eax, 10
  cvtsi2ss xmm1, eax ; xmm1 tiene el float 10.0f

  ; Multiplicacion de punto flotante.
  ; Uno de los operandos es entero y el otro punto flotante.
  mulss xmm0, xmm1
  movd eax, xmm0     ; eax == 420 (entero)
  ret

Y un ejemplo en C, aunque sea comportamiento indefinido:

#include<stdio.h>
#include<stdint.h>

union {
    int32_t a;
    float b;
} val;

int main() {
    val.a = 15;
    val.b *= 0.2f;
    printf("val: %d\n", val.a); // imprime 3
    return 0;
}

Esto funciona para todos los enteros menores a $2^{23}$.

Representación Punto Flotante 101

Los 23 bits menos significativos de un número en punto flotante de precisión simple nos sirven para identificar la mantisa, los siguientes 8 bits nos dicen cuál va a ser el exponente y luego tenemos un bit para el signo. Un número positivo con exponente mayor a 0 se calcula como: $2^{exponente - 127}\ (1 + \frac{mantisa}{2^{23}})$.

Números Subnormales

Cuando un número en punto flotante tiene exponente $0$, se dice que es un número subnormal. Se escribe como $2^{-126} \frac{mantisa}{2^{23}}$

Los números enteros menores a $2^{23}$, si los interpretamos como un float, van a ser números positivos subnormales, ya que su exponente será 0. Su mantisa será exactamente igual al número.

Entonces, tenemos nuestro número, por ejemplo $15$, y queremos dividirlo por $3.0$. Si interpretamos nuestro $15$ como punto flotante obtenemos $2^{-126} \frac{15}{2^{23}}$

Así que la cuenta que queremos hacer es:

$$ \frac{2^{-126}\frac{15}{2^{23}}}{3} $$

Didiviendo ${15}$ por $3$ nos queda:

$$ 2^{-126} \frac{3}{2^{23}} $$

Y este es un número que si lo escribimos como punto flotante, tiene el bit de signo en $0$, el exponente en $0$ (es subnormal), y la mantisa vale $3$, haciendo que el número se corresponda con la representación del entero $3$.

Esto vale siempre y cuando el resultado de la operatoria pueda escribirse como un número subnormal.

¿Qué uso le podemos dar a esto? No muchos, esto es más bien una curiosidad, y estamos bastante limitados por el hecho de que tanto el número original como el resultado deben ser menores a $2^{23}$. Para colmo, las unidades de punto flotante de los procesadores suelen tener implementaciones muy lentas cuando trabajan con números subnormales, del orden de los 100 ciclos de procesador por operación¹.